問題１−１（２）

数学

３要素だけからなる体の和と積の演算表をつくれ．

体は少なくとも、和の単位元0、積の単位元1を持つから第3の要素をaとする。
積から考える。
0*0=0*1=1*0=0*a=a*0=0
1*1=1
1*a=a
a*a=1
最後の関係は、体は積に関して0を除いて群をなすからaの逆元が存在するはず。ところが他に要素がないからaの逆元はaである。
次に和を考える。
0+0=0
0+1=1+0=1
0+a=a+0=a
1+a=a+1=0
最後の関係は、足した結果が0以外（1またはa）とすると、1またはaの和に関する逆元を足すと1またはaが0と等しくなるから３要素からなることに矛盾する。
1+1=a
なぜなら1の和に関する逆元はaだから1+1\neq~0,1+1\neq~1
同じ理屈でa+a=1