ポアンカレ予想

数学

というわけで、ポアンカレ予想のドラマから連想する素朴な疑問に従って、位相幾何学を眺め始めました。

  • 「なんで、位相幾何の問題が、微分幾何で解けるの？」

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%82%A8%E3%82%A4%E3%83%81%E3%83%BB%E3%83%93%E3%83%B3%E3%82%B0

3次元多様体は全て滑らかで微分可能な多様体に変形できる

おおおー。

  • 「S1から結び目への写像はD1に拡張できるの？」

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~ishikawa/vector/vector6.pdf

R3 の領域 D が単連結 ⇔ 任意の連続曲線 ℓ : [0, 1] → D ただし ℓ(0) = ℓ(1) となるものに対して，連続曲面 H : [0.1] × [0, 1] → D が存在して，任意の t, s ただし 0 t 1, 0 s 1 に対し，H (t, 0) = ℓ(t), H (0, s) = H (1, s), H (t, 1) = ℓ(0) を満たす。

なるほど、D1（面）からの写像を想像すると、結び目が写像面を横切りそうで気持ち悪いけど、結び目をじわじわと変形して、最後１点にする変形を見つければ、それが拡張写像になるのね。しかし、それだと、ポアンカレ予想の３次元固有の難しさがわからなくなった。

  • 「手術って痛いの？（冗談）」

http://mathsoc.jp/publication/tushin/1303/1303imai.pdf

3 次元球面 S 3 から結び目 K の管状近傍の内部を取り除いた残りの空間と、別のドーナッツを（この２つは境界付き多様体です）、表面（境界）のトーラスで貼り合わせてくっつけます。

おおおー。ペレルマンさんの手術と関係あるかどうかもわからないし、手術で何が治ったのかよくわからないが、面白い。
（デーン手術というらしい）
http://mail2.nara-edu.ac.jp/~ichihara/Research/talks/Report/twcu0412-r.pdf

  • 「リッチフローって何？」

http://www.math.tohoku.ac.jp/meetings/coeharu/LN/LN_toda.pdf

よい計量を探すために、（一般の）多様体 M 上の計量 gij を放物型偏微分方程式に より変形していくことを考える。

おおー。ニュートン力学での一般相対論みたい。急に馴染みやすい話になった。
ああ、読まなければ思いながら２０年放ってある本を思い出した。"The Large Scale Structure of Space-Time (Cambridge Monographs on Mathematical Physics)"