対数関数の近似式？ - タイプするサル

エラトステネスの篩から素数定理に近づこうとしたら、

$\prod _{p \lt \sqrt{N}} {1- {1 \over p}} \approx {1 \over {\log N}$

なら素数定理になりそうです。
これがそもそも間違っているのか、これを証明することが素数定理の証明になるのか。
オイラーの積公式

$\prod _{p} {1 \over {1- {1 / p^s}}} = \sum _{n} {1 \over n^s}$

から形はもっともらしいのですが、 $\sqrt N$ で切るところがいいかどうか。
でも、簡単に証明できそうな。ということは、どこかで大きな勘違いをしている？
囲碁の死活の読みと同じで、歳を取るとこういう問題、厳密に解こうとする気力が…